Φιλοσοφία, θρησκεία και τα μαθηματικά του Κάντορ

Η ιδέα της ύπαρξης ενός πραγματικού απείρου ήταν μια σημαντική κοινή ανησυχία εντός της σφαίρας των μαθηματικών, της φιλοσοφίας και της θρησκείας. Διατηρώντας την ορθοδοξία της σχέσης μεταξύ του Θεού και των μαθηματικών, αν και δεν είναι στην ίδια μορφή όπως πραγματοποιήθηκε από τους επικριτές του, ήταν εδώ και καιρό μια ανησυχία του Κάντορ . Απεύθυνε άμεσα αυτή τη τομή μεταξύ αυτών των κλάδων στην εισαγωγή του Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, όπου τόνισε τη σύνδεση μεταξύ της άποψή του για το άπειρο και της φιλοσοφικής του άποψης. Οι μαθηματικές απόψεις του Καντόρ συνδέθηκαν ουσιαστικά με τις φιλοσοφικές και θεολογικές επιπτώσεις τους-προσδιόρισε το απόλυτο άπειρο με τον Θεό, και θεώρησε το έργο του σχετικά με αυτούς τους αριθμούς, οι οποίοι κοινοποιήθηκαν απευθείας σε αυτόν. Συζητήσεις μεταξύ μαθηματικών αύξησαν τις αντίθετες απόψεις στη φιλοσοφία των μαθηματικών σχετικά με τη φύση του πραγματικού απείρου. Μερικοί που επέμεναν στην άποψη ότι το άπειρο ήταν μια αφηρημένη έννοια η οποία δεν ήταν μαθηματικά νόμιμη, και να αρνήθηκαν την ύπαρξή της. Μαθηματικοί από τρεις μεγάλες σχολές σκέψης (κονστρουκτιβισμού, ενορατισμού και απείρου) αντιτέθηκαν στις θεωρίες του Κάντορ επί του θέματος. Για κονστρουκτιβιστές όπως ο Κρόνεκερ, αυτή η απόρριψη του πραγματικού απείρου πηγάζει από τη θεμελιώδη διαφωνία με την ιδέα ότι μη κατασκευαστικές αποδείξεις όπως το διαγώνιο επιχείρημα του Καντόρ είναι επαρκής απόδειξη ότι κάτι υπάρχει, απορρίπτοντας ότι χρειάζονται εποικοδομητικές αποδείξεις.Ο ενορατισμός απορρίπτει επίσης την ιδέα ότι το πραγματικό άπειρο είναι μια έκφραση της πραγματικότητας, αλλά να καταλήγει στην απόφαση μέσω μιας διαφορετικής διαδρομής από ότι ο κονστρουκτιβισμός. Πρώτον, το επιχείρημα του Κάντορ στηρίζεται στη λογική να αποδείξει την ύπαρξη των υπεράριθμων αριθμών ως πραγματική μαθηματική οντότητα, ενώ οι πανεπιστημιακοί πιστεύουν ότι οι μαθηματικές οντότητες δεν μπορούν να μειωθούν σε λογικές προτάσεις, προερχόμενοι αντίθετα από τις διαισθήσεις του νου. Δεύτερον, η έννοια του απείρου, ως έκφραση της πραγματικότητας είναι η ίδια που απαγορεύθηκε στον ενορατισμό, δεδομένου ότι το ανθρώπινο μυαλό δεν μπορεί να κατασκευάσει διαισθητικά ένα άπειρο σύνολο. Οι τρεις κρίσεις στα μαθηματικά: Λογικισμός, ενορατισμός και φορμαλισμός. Μαθηματικοί, όπως Luitzen Egbertus Jan Brouwer και ιδιαίτερα η Henri Poincaré υιοθέτησαν μια διαισθητική στάση απέναντι στην εργασία του Κάντορ. Αναφέροντας τα παράδοξα της θεωρίας συνόλων ως ένα παράδειγμα θεμελιώδους ελαττωματικής φύσης , Ο Poincaré υποστήριξε ότι οι περισσότερε από τις ιδέες της θεωρίας συνόλων του Κάντορ πρέπει να εκδιωχθούν από τα μαθηματικά, μια για πάντα. Τέλος,οι επιθέσεις του Ludwig Wittgenstein ήταν τελειωτικές: πίστευε ότι το διαγώνιο επιχείρημα του Κάντορ συγχέεται με την πρόθεση ενός συνόλου καρδινάλιων ή πραγματικών αριθμών με το επέκταση του, συγχύζοντας έτσι την έννοια των κανόνων για την παραγωγή ενός συνόλου με ένα πραγματικό σύνολο. Μερικοί χριστιανοί θεολόγοι είδαν το έργο του ως Κάντορ ως μια πρόκληση για τη μοναδικότητα του απόλυτου απείρου στη φύση του Θεού. Ειδικότερα, νεοθωμιστές στοχαστές είδαν την ύπαρξη ενός πραγματικού απείρου που αποτελούνταν από κάτι άλλο εκτός του Θεού ο οποίος τέθηκε σε κίνδυνο "η αποκλειστική αξίωση του Θεού στην υπέρτατη αιωνιότητα. Ο Κάντορ πίστευε ότι η άποψη αυτή ήταν μια παρερμηνεία του απείρου, και ήταν πεπεισμένος ότι η θεωρία συνόλων θα μπορούσε να βοηθήσει ώστε να διορθωθεί αυτό το λάθος. Ο Κάντορ επίσης πίστευε ότι η θεωρία των υπεραριθμήσιμων αριθμών του καταστρατηγούσε και τον υλισμό και τον Ντετερμινισμό – και συγκλονίστηκε όταν συνειδητοποίησε ότι ήταν η μόνη σχολή μέλος στο Halle που δεν άντεχε τις ντετερμινιστικές φιλοσοφικές πεποιθήσεις. Το 1888, ο Κάντορ δημοσίευσε την αλληλογραφία του με αρκετές φιλοσόφους σχετικά με τις φιλοσοφικές προεκτάσεις της θεωρίας του συνόλων. Σε μια εκτεταμένη προσπάθεια του να πείσει άλλους Χριστιανούς στοχαστές αλλά και αρχές να υιοθετήσουν τις απόψεις του, ο Κάντορ συνεργάστηκε με την χριστιανούς φιλόσοφους όπως Tilman Pesch και Joseph Hontheim, καθώς και θεολόγους, όπως Johannes Franzelin, που κάποτε απάντησε εξισώνοντας τη θεωρία των υπεραριθμήσιμων αριθμών του με το πανθεϊσμός. Ο Καντόρ ακόμη έστειλε ένα γράμμα απευθείας στο πάπα Leo ΧΙΙΙ και απηύθυνε διάφορα φυλλάδια σ ' αυτόν.

Η Φιλοσοφία του Κάντορ σχετικά με τη φύση των αριθμών τον οδήγησε να επιβεβαιώσει την πίστη στην ελευθερία των μαθηματικών για να τοποθετήσει και να αποδείξει τις έννοιες πέρα από τη σφαίρα των φυσικών φαινομένων, ως εκφράσεις μέσα σε μια εσωτερική πραγματικότητα. Οι μόνοι περιορισμοί σε αυτό το σύστημα μεταφυσικοί είναι ότι όλες οι μαθηματικές έννοιες πρέπει να στερούνται εσωτερικής αντίφασης, και ότι ακολουθούν από υφιστάμενους ορισμούς, αξιώματα και θεωρήματα. Αυτή η πεποίθηση συνοψίζεται στη διάσημη διαβεβαίωσή του ότι η ουσία των μαθηματικών είναι ελευθερία. Αυτές οι ιδέες παραλληλίζονται με αυτές των Edmund Husserl.
Εν τω μεταξύ, ο Κάντορ ο ίδιος ήταν έντονα αντίθετος με τους άπειρους αριθμούς χαρακτηρίζοντάς τους βδέλυγμα και χολέρα των μαθηματικών.
Η εργασία του Κάντορ αποκαλύπτει ότι γνώριζε πολύ καλά τις αντιθέσεις που αντιμετώπιζαν οι ιδέες του "Αντιλαμβάνομαι ότι στην επιχείρηση αυτή τοποθετώ τον εαυτό μου σε μια ορισμένη αντίληψη στις ευρέως διαδεδομένες απόψεις που αφορούν το μαθηματικό άπειρο και στις απόψεις που συχνά υπερασπίζονται τη φύση των αριθμών". Ως εκ τούτου αφιερώνει πολύ χώρο στη δικαιολόγηση των προηγουμένων έργων του, επιβεβαιώνοντας ότι μαθηματικές έννοιες μπορεί να εισάγονται ελεύθερα για όσο χρονικό διάστημα είναι απαλλαγμένες από αντιθέσεις και ορισμένες σε όρους προηγούμενων αποδεκτών εννοιών. Μνημονεύει, επίσης, τον Αριστοτέλη, τον Descartes, τον Berkeley,τον Leibniz, και τον Boltzano στο άπειρο.

Καταγωγή του Κάντορ

Πολύ λίγα είναι σίγουρα γνωστά για την προέλευση και την εκπαίδευση του Κάντορ. Οι πρόγονοι του Κάντορ ήταν από την Κοπεγχάγη, και κατέφυγαν στην Ρωσία λόγω της διαταραχής των ναπολεόντειων πολέμων. Υπάρχουν πολύ λίγες άμεσες πληροφορίες για τους παππούδες του. Ο Κάντορ κλήθηκε μερικές φορές από τους Εβραίους στη διάρκεια της ζωής του, αλλά έχει επίσης ποικιλοτρόπως κληθεί από τους Ρώσους, τους Γερμανούς καθώς και από τους Δανούς.
Ο Τζέικομπ Κάντορ, παππούς του Καντόρ, έδωσε στα παιδιά του χριστιανικά ονόματα. Περαιτέρω, αρκετοί από τους συγγενείς της γιαγιάς του ήταν στην τσαρική δημόσια υπηρεσία, που δεν θα δεχόταν Εβραίους, εκτός αν μεταπηδούσαν στο Χριστιανισμό. Ο πατέρας του Κάντορ, εκπαιδεύτηκε στην αποστολή της Λουθηρανικής στην Αγία Πετρούπολη, και στην αλληλογραφία του με τον γιο του δείχνει δύο από αυτούς ως αφοσιωμένος Λουθηρανούς. Η μητέρα του, Maria Anna Böhm , καταγόταν από την Αυστρία και την Ουγγαρία, γεννήθηκε στην Αγία Πετρούπολη και βαπτίστηκε ρωμαιοκαθολική. Ασπάστηκε τον Προτεσταντισμό κατόπιν γάμου. Ωστόσο, υπάρχει μια επιστολή από τον αδελφό του Καντόρ Louis στη μητέρα τους, δηλώνοντας:
"Ακόμη και αν εμείς καταγόμαστε από τους Εβραίους δέκα φορές πάνω , και ακόμα κι αν μπορεί να είμαστε, κατ ' αρχήν, εντελώς υπέρ των ίσων δικαιωμάτων για τους Εβραίους, στην κοινωνική ζωή προτιμώ τους Χριστιανούς...") που θα μπορούσε να διαβαστεί και να υπονοεί ότι ήταν εβραϊκής καταγωγής. Υπήρχαν τεκμηριωμένες δηλώσεις, κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1930, που έθεσε την εβραϊκή καταγωγή σε αμφισβήτηση:Πιο συχνά δηλαδή, από την καταγωγή της μητέρας έχει συζητηθεί αν ο Καντόρ ήταν εβραϊκής καταγωγής. Για αυτό αναφέρεται σε ανακοίνωση του Δανέζικου γενεαλογικού Ινστιτούτου στην Κοπεγχάγη από το έτος 1937 σχετικά με τον πατέρα του: " Με το παρόν πιστοποιείται ότι ο Καντόρ, που γεννήθηκε το 1809 ή 1814, δεν είναι παρόν στα μητρώα της εβραϊκής κοινότητας, και ότι χωρίς αμφιβολία δεν ήταν Εβραίος.
Λέγεται επίσης αργότερα στο ίδιο έγγραφο: Επίσης προσπάθειες για μεγάλο χρονικό διάστημα από τη βιβλιοθηκάριο Josef Fischer, ένας από τους καλύτερους εμπειρογνώμονες της εβραϊκης γενεαλογίας στη Δανία, κατηγορείται για τον εντοπισμό των Εβραίων καθηγητών, ότι ο Κάντορ ήταν εβραϊκής καταγωγής, χωρίς αποτέλεσμα. Κάτι που φαίνεται να είναι λάθος με αυτήν την πρόταση, αλλά η έννοια φαίνεται αρκετά σαφης. Σε δημοσιευμένες εργασίες του Κάντορ και του Nachlass δεν υπάρχει καμία δήλωση από τον ίδιο, που αφορούν την εβραϊκή καταγωγή των προγόνων του. Υπάρχει για να είστε σίγουροι στο Nachlass ένα αντίγραφο μιας επιστολής από τον αδελφό του Λούντβιχ από τις 18 Νοεμβρίου 1869 στη μητέρα τους με κάποια δυσάρεστη αντισημιτική δήλωση, στην οποία λέγεται μεταξύ άλλων. Σε άνδρες μαθηματικούς, ο Eric Bell περιέγραψε τον Κάντορ ως καθαρό Εβραίο προερχόμενο και από τις δύο πλευρές αν και οι δύο γονείς ήταν βαφτισμένοι. Το 1971 ένα άρθρο με τίτλο «Τowards» μια βιογραφία του Κάντορ ,ο Βρετανός ιστορικός των μαθηματικών Ivor Grattan-Γκίνες αναφέρει ότι δεν μπόρεσε να βρει αποδείξεις για την εβραϊκή καταγωγή. (Επίσης δηλώνει ότι η γυναίκα του Καντόρ, Βάλλυ Γκούτμαν, ήταν εβραϊκής καταγωγής). Σε μια επιστολή που γράφεται από τον Κάντορ στον Paul Tanneryτο 1896 (Paul Tannery, απομνημονεύματα Scientifique 13 αλληλογραφία, Gauthier-Villars, Παρίσι, 1934, σ. 306), ο Κάντορ αναφέρει ότι οι πρόγονοί του ήταν μέλη της εβραϊκής κοινότητας των Σεφαραδιτών της Κοπεγχάγης. Συγκεκριμένα, ο Κάντορ δηλώνει περιγράφοντας τον πατέρα του: " γεννήθηκε στην Κοπεγχάγη από Εβραίους γονείς από την τοπική πορτογαλική-εβραϊκή κοινότητα. Ο μεγάλος θείος του Καντόρ απο την πλευρά της μητέρας του , ένας Ούγγρος βιολιστής Josef Böhm, περιγράφηκε ως Εβραίος, πράγμα που σημαίνει ότι η μητέρα του Καντόρ ήταν τουλάχιστον εν μέρει από την ουγγρική εβραϊκή κοινότητα. Σε επιστολή του προς τον Bertrand Russell, ο Κάντορ περιέγραψε την καταγωγή και την αυτο-αντίληψη ως εξής: «Ούτε ο πατέρας μου ούτε η μητέρα μου ήταν γερμανικής καταγωγής, ο πατέρας μου είναι Δανός, γεννημένος στην Κοπεγχάγη, η μητέρα μου από Αυστρία και Ουγγαρία.Πρέπει να ξέρετε, κύριε, ότι δεν είμαι ένας συνηθισμένος ακριβώς Γερμανός, γιατί έχω γεννηθεί 3 Μαρτίου 1845 στο Saint Peterborough, πρωτεύουσα της Ρωσίας, αλλά πήγα με τον πατέρα μου, την μητέρα μου και τα αδέλφια μού, έντεκα ετών στο έτος 1856, στη Γερμανία.»