Εύδοξος ο Κνίδιος, ένας σπουδαίος μαθηματικός και αστρονόμος

Ἀναρτήθηκε στὶς Ἰανουαρίου 20, 2011 ἀπὸ τὸν/τὴν Γιάννης Φαίλτωρ

Ο Εύδοξος ο Κνίδιος (400π.Χ – 350 π.Χ), ο εξοχότερος από τους μαθηματικούς και αστρονόμους της εποχής του Πλάτωνος, προώθησε σημαντικά τη θεωρία των αριθμών πέρα από την πυθαγόρεια παράδοση, αποδεικνύοντας την ύπαρξη ασύμμετρων μεγεθών και επινοώντας διάφορες τεχνικές για τη μέτρηση καμπύλων επιφανειών. Επιπλέον, με το σύστημα των ομόκεντρων σφαιρών που επινόησε, έδωσε την πρώτη συστηματική εξήγηση των κινήσεων του Ήλιου, της Σελήνης και των πλανητών, τονίζοντας για μια ακόμα φορά την εμμονή των αρχαίων Ελλήνων στη σφαιρική τελειότητα. Εισήγαγε επίσης τη γεωμετρία στην επιστήμη της αστρονομίας και τόνισε πρώτοις την ανάγκη αλληλεπίδρασης μεταξύ παρατηρήσεων και θεωρίας που χαρακτηρίζει από τότε την ανάπτυξη της αστρονομίας. Οι συνεισφορές του είναι γνωστές από πολλές ελληνικές πηγές, συμπεριλαμβανομένων και σχολίων που υπάρχουν σε βυζαντινούς κώδικες, αν και κανένα από τα γραπτά του δε διασώθηκε.

Ο Εύδοξος, γιος του Αισχίνη, σπούδασε μαθηματικά και ιατρική σε μια σχολή της οποίας η φήμη συναγωνιζόταν τη Σχολή του Ιπποκράτη του Κώου. Ένας πλούσιος γιατρός, εντυπωσιασμένος από τις ικανότητές του, πλήρωσε τα έξοδα μετάβασης στην Αθήνα για να σπουδάσει στην Ακαδημία του Πλάτωνος, η οποία είχα ιδρυθεί το 387 π.Χ. Έζησε δεκαέξι μήνες στην Αίγυπτο κατά τη διάρκεια  κατά τη διάρκεια της βασιλείας του Νεκτανεβώ του Α΄ (380 – 363 π.Χ). Στην Ηλιούπολη μυήθηκε στη σοφία του ιερατείου η οποία περιλάμβανε και την αστρονομία. Εκεί έγραψε και την Οκταετηρίδα, το πρώτο σημαντικό του έργο, το οποίο αναφερόταν σε ένα ημερολόγιο βασισμένο σε έναν οκταετή κύκλο, ίσως μετά από μελέτη του πλανήτη Αφροδίτη. Στη συνέχεια ταξίδεψε στην περιοχή της θάλασσας της Προποντίδας, ζώντας από τη διδασκαλία, και μετά επέστρεψε στην Αθήνα, όπου απέκτησε μεγάλη φήμη ως νομοθέτης. Τα λίγα βιογραφικά του στοιχεία, μας είναι γνωστά κυρίως από κείμενα του Διογένη του Λαέρτιου που έζησε τον 3ο μ.Χ αιώνα.

Θεωρία της αναλογίας

Είναι γενικά παραδεκτό ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε το έργο του Ευδόξου στο κείμενο των Στοιχείων του, ιδιαίτερα στα βιβλία V και ΧΙΙ καθώς και σε τμήματα των βιβλίων VI, X και ΧΙΙΙ. Οι δύο βασικές συνεισφορές του Ευδόξου στα μαθηματικά είναι η θεωρία των αναλογιών, που βρίσκεται στο βιβλίο V, και η μέθοδος της εξάντλησης στο βιβλίο XII. Ο φιλόσοφος Πρόκλος αποδίδει τη θεωρία των αναλογιών στον Εύδοξο και ο Αρχιμήδης του αποδίδει τη μέθοδο της εξάντλησης. Είναι επίσης πιθανό ότι η αξιωματική μέθοδος του Ευκλείδη αναπτύχθηκε αρχικά από τον Εύδοξο.

Πριν τον 5^ο και 4^ο αιώνα οι πυθαγόρειοι είχαν παρατηρήσει ορισμένες σχέσεις μεταξύ των διαφόρων γεωμετρικά μετρήσιμων ποσοτήτων, όπως π.χ μεταξύ της υποτείνουσας και των καθέτων πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου (το γνωστό Πυθαγόρειο θεώρημα). Αλλά επίσης ανακάλυψαν ότι τα μήκη ορισμένων γεωμετρικών σχημάτων μπορούσαν να εκφραστούν μόνο ως άρρητοι αριθμοί, όπως π.χ η διαγώνιος ενός τετραγώνου. Η ανακάλυψη των αρρήτων αριθμών περί το 400 π.Χ σήμανε ότι η πυθαγόρεια γεωμετρία η οποία ασχολούνταν μόνο με σύμμετρα μεγέθη, ήταν ανεπαρκής, διότι δεν είχε τα μέσα να πραγματευθεί τους άρρητους αριθμούς.

Στο βιβλίο V  των Στοιχείων του Ευκλείδη αναπτύσσεται διεξοδικά η θεωρία των αναλογιών του Ευδόξου, της οποίας ο ορισμός των ίσων λόγων, ο περίφημος πέμπτος ορισμός, είναι η κύρια πηγή για τη σύγχρονη θεώρηση των ασύμμετρων αριθμών. Με τη θεωρία αυτή, η οποία αποτελεί μια βασική συμβολή στη θεωρία των αριθμών, τα μαθηματικά για πρώτη φορά μπορούν να θεωρήσουν μη σύμμετρα μεγέθη, δηλαδή μεγέθη των οποίων ο λόγος δεν ισούται με το πηλίκο δύο ακεραίων, όπως είναι τα μήκη της διαμέτρου και της περιφέρειας ενός κύκλου. Έτσι, μετά τη λύση που δόθηκε από τους αρχαίους Έλληνες στο πρόβλημα του υπολογισμού των εμβαδών και των όγκων σχημάτων που περιορίζονται από ευθείες γραμμές και που παριστάνονται από ρητούς αριθμούς, η θεωρία των αναλογιών επέτρεψε στον Εύδοξο να ασχοληθεί, με τη βοήθεια ρητών προσεγγίσεων, με μετρήσεις που συνεπάγονται άρρητους αριθμούς. Απέδειξε ότι οι άρρητοι αυτοί αριθμοί μπορούν να οριστούν με τη βοήθεια κατάλληλων προσεγγίσεων ρητών.