Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί

Δίδυμοι πρώτοι ονομάζονται οι πρώτοι αριθμοί που η διαφορά τους είναι 2, π.χ 11 και 13, 17 και 19, 1.000.037 και 1.000.039. Ένα γνωστό άλυτο πρόβλημα της Θεωρίας των αριθμών είναι η εικασία των Διδύμων Πρώτων στην οποία πρέπει να αποδειχτεί πως υπάρχουν άπειροι πρώτοι p τέτοιοι ώστε και ο αριθμός p + 2 να είναι πρώτος. Σημειώνεται ότι 2 είναι η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο πρώτων, καθώς αν ο p είναι πρώτος τότε θα είναι περιττός (με μοναδική εξαίρεση τον αριθμό 2) και άρα ο p+1 θα είναι άρτιος και άρα σύνθετος αριθμός.
Το 1849 ο de Polignac διατύπωσε την πιο γενική εικασία ότι για κάθε φυσικό αριθμό κ, υπάρχουν άπειρα ζευγάρια πρώτων p και p′ τέτοια ώστε p - p′ = 2κ. Η περίπτωση όπου k = 1 είναι η εικασία των Διδύμων Πρώτων.

 Κάποια αποτελέσματα

Το 1915, ο Viggo Brun απέδειξε ότι το άθροισμα των αντίστροφων των δίδυμων αριθμών είναι συγκλίνον. Αυτό το διάσημο αποτέλεσμα ήταν η πρώτη χρήση του κόσκινου του Brun (Brun sieve) και βοήθησε στην ανάπτυξη της μοντέρνας θεωρίας του κόσκινου (sieve theory). Η σύγχρονη έκδοση του επιχειρήματος του Brun μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δειχθεί ότι ο αριθμός των δίδυμων πρώτων που είναι μικρότεροι του Ν δεν υπερβαίνει το:

για κάποια σταθερά C > 0.
Το 1940, ο Paul Erdős απέδειξε ότι υπάρχει μία σταθερά c < 1 και άπειροι πρώτοι p τέτοιοι ώστε p′ - p < c ln p όπου το p′ δηλώνει τον επόμενο πρώτο ακριβώς μετά τον p. Αυτό το αποτέλεσμα βελτιώθηκε σταδιακά; το 1986 ο Helmut Maier έδειξε ότι μία σταθερά c < 0.25 μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Το 2004, ο Daniel Goldston και ο Cem Yıldırım έδειξαν ότι η σταθερά μπορούσε να βελτιωθεί περαιτέρω στο c = 0.085786... Το 2005, ο Goldston, ο Pintz και ο Yıldırım απέδειξαν ότι η σταθερά c μπορεί να επιλεγεί αυθαιρέτως μικρή [1], [2]' Στην πραγματικότητα, εάν κάποιος υποθέσει την εικασία των Elliott-Halberstam, έχουν αποδείξει ότι υπάρχουν άπειροι αριθμοί ν τέτοιοι ώστε τουλάχιστον 2 από τους ν, ν + 2, ν + 6, ν + 8, ν + 12, ν + 18, ν + 20 είναι πρώτοι.
Το 1966, ο Chen Jingrun έδειξε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι p τέτοιοι ώστε ο p + 2 να είναι είτε πρώτος, είτε ένας "ημι-πρώτος" (π.χ., το γινόμενο δύο πρώτων). Η προσέγγιση που έκανε ενέπλεξε ένα θέμα που ονομάζεται θεωρία του κόσκινου (sieve theory), και κατάφερε να αντιμετωπίσει την εικασία των δίδυμων πρώτων και την εικασία του Γκόλντμπαχ (Goldbach) με παρόμοιο τρόπο.
Στην προσπάθειά τους να καθορίσουν ότι ένας πρώτος Chen είναι ένας πρώτος p τέτοιος ώστε ο p + 2 είναι είτε πρώτος, είτε "ημι-πρώτος", ο Terence Tao και ο Ben Green απέδειξαν το 2005 ότι υπάρχουν άπειρες τριάδες ακολουθιών από πρώτους του Chen.

 Σημαντικό πρόβλημα βρέθηκε σε πιθανή επίλυση του προβλήματος

Στις 26 Μαΐου το 2004, ο Richard Arenstorf από το πανεπιστήμιο του Vanderbilt παρέδωσε μία 38-σέλιδη απόδειξη ότι όντως ύπαρχουν άπειροι δίδυμοι πρώτοι. Στις 3 Ιουνίου του ίδιου έτους, όμως, ο Michel Balazard από το πανεπιστήμιο του Bordeaux ανέφερε ότι το Λήμμα 8 στη σελίδα 35 ήταν λανθασμένο.[3] Όπως συνηθίζεται στις μαθηματικές αποδείξεις, μία ατέλεια μπορεί να είναι διορθώσιμή ή και να μπορεί να αντικατασταθεί από μία άλλη μέθοδο που θα διορθώσει την ατέλεια και θα ολοκληρώσει την απόδειξη. Ο Arenstorf απέσυρε την απόδειξη του στις 8 Ιουνίου, σημειώνοντας "Ένα σημαντικό λάθος εντοπίστηκε στην απόδειξη και πιο συγκεκριμένα, το Λήμμα 8 είναι λανθασμένο"

Εικασία του Γκόλντμπαχ

Η εικασία του Γκόλντμπαχ είναι ένα από τα παλιότερα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών και γενικότερα των μαθηματικών. Εκφράζεται ως εξής:

Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n ≧ 2, 2n = p + q, όπου p, q πρώτοι αριθμοί.

Για παράδειγμα,

  4 = 2 + 2

  6 = 3 + 3

  8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7

κτλ.

Ιστορική αναδρομή

Στις 7 Ιουνίου 1742 ο Κρίστιαν Γκόλντμπαχ έστειλε μία επιστολή στον Λέοναρντ Όιλερ, στην οποία έκανε μια πρώτη αναφορά στην εξής εικασία:

Κάθε ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών πρώτων.

Θεωρούσε βέβαια ως δεδομένο ότι το 1 είναι πρώτος αριθμός, σύμβαση που μεταγενέστερα εγκαταλείφθηκε. Έτσι σήμερα η αρχική θεωρία του Goldbach θα γραφόταν ως εξής

Κάθε ακέραιος μεγαλύτερος του 5 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών πρώτων.

Ο Όιλερ απάντησε με μία ισοδύναμη εκδοχή της εικασίας:

Κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων,

προσθέτοντας ότι το δέχεται ως ένα πλήρως ορισμένο θεώρημα (”ein ganz gewisses Theorema”), παρά το γεγονός ότι δεν είναι σε θέση να το αποδείξει. Αυτή η προγενέστερη εικασία είναι σήμερα γνωστή ως “τριαδική” εικασία του Γκόλντμπαχ, ενώ η μεταγενέστερη ως “ισχυρή” ή “δυαδική” εικασία του Γκόλνμπαχ. Η εικασία ότι όλοι οι περιττοί αριθμοί μεγαλύτεροι του 9 μπορούν να γραφτούν ως άθροισμα τριών περιττών πρώτων αριθμών καλείται ως η “αδύναμη” εικασία του Γκόλντμπαχ. Και οι δύο παραμένουν άλυτες μέχρι σήμερα.

 Προσπάθειες απόδειξης

Όπως με πολλές άλλες εικασίες των μαθηματικών, υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός από διαδεδομένες αποδείξεις της εικασίας του Γκόλντμπαχ, από τις οποίες όμως καμία δεν έχει γίνει ακόμα αποδεκτή από την μαθηματική κοινότητα. Ο εκδοτικός οίκος "Faber and Faber" προσέφερε το βραβείο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων σε όποιον αποδείκνυε την εικασία του Γκόλντμπαχ μέσα στο χρονικό διάστημα από τις 10 Μαρτίου 2000 μέχρι τις 20 Μαρτίου 2002, αλλά κανείς δεν τα κατάφερε και έτσι η εικασία παραμένει ακόμα και μέχρι σήμερα ανοιχτή.

 Δεύτερη Εικασία του Γκόλντμπαχ

Η δεύτερη εικασία αναφέρει ότι κάθε περιττός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 3 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών πρώτων.