Ο Κουρτ Γκέντελ Godel ΚΑΙ Το θεώρημα της μη πληρότητας και οι πεπερασμένες δυνατότητες του ανθρώπινου μυαλού

ο Godel έδειξε ότι σε οποιοδήποτε τυπικό σύστημα, υπάρχει πάντα μια δήλωση για τους φυσικούς αριθμούς που είναι αληθινή, αλλά που δεν μπορεί να αποδειχθεί στο σύστημα. Με άλλα λόγια, τα μαθηματικά δεν θα είναι ποτέ το αυστηρό κι ακλόνητο σύστημα που οι μαθηματικοί ονειρεύονταν επί χιλιετίες.

ο πολυπόθητος στόχος της διαμόρφωσης ενός τέλειου τυπικού συστήματος αποκαλύπτεται ότι είναι χιμαιρικός. Όλα τα τυπικά συστήματα - τουλάχιστον αυτά που είναι αρκετά ισχυρά να είναι ενδιαφέροντα - αποδεικνύονται ελλιπή επειδή είναι σε θέση να διατυπώσουν δηλώσεις που λένε για το εαυτό τους ότι δεν μπορούν να αποδειχθούν. Αυτό, εν συντομία, εννοούμε όταν λέμε ότι ο Godel το 1931 κατέδειξε τη «μη πληρότητα των μαθηματικών». Δεν είναι ακριβώς τα μαθηματικά τα ίδια που δεν έχουν πληρότητα, αλλά οποιοδήποτε τυπικό σύστημα που προσπαθεί να συλλάβει όλες τις αλήθειες των μαθηματικών σε πεπερασμένο σύνολό αξιωμάτων και κανόνων. Ίσως πλέον αυτό να μη μας κλονίζει τόσο, αλλά για τους μαθηματικούς στη δεκαετία του '30, ανετράπη ολόκληρη η κοσμοθεώρησή τους και τα μαθηματικά δεν θα ήταν ποτέ τα ίδια.

Το θεώρημα του Godel έχει χρησιμοποιηθεί για να υποστηρίξει ότι ένας υπολογιστής δεν μπορεί ποτέ να γίνει τόσο έξυπνος όσο ένας άνθρωπος επειδή η έκταση της γνώσης του πρώτου περιορίζεται από ένα δεδομένο σύνολο αξιωμάτων, ενώ οι άνθρωποι μπορούν να ανακαλύψουν τα απροσδόκητες αλήθειες… Παίζει ρόλο στις σύγχρονες γλωσσικές θεωρίες, οι οποίες υπογραμμίζουν τη δύναμη της γλώσσας να βρίσκει νέους τρόπους να εκφραστούν οι ιδέες.

Ένα άλλο παραπλήσιο πόρισμα του θεωρήματος είναι πως δεν μπορούμε ποτέ να είμαστε βέβαιοι πως δεν έχουμε παραφρονήσει. Ο παράφρων ερμηνεύει τον κόσμο μέσω της (παραδόξως) συνεπούς λογικής του. Πώς μπορούμε να αποφανθούμε εάν η λογική μας είναι παράδοξη ή όχι, δεδομένου ότι έχουμε μόνο τη λογική μας για να το κρίνουμε; Αναφέρω εδώ και το δεύτερο θεώρημα Godel, το οποίο καταδεικνύει ότι τα μόνα αριθμητικά τυπικά συστήματα που είναι ασυνεπή είναι αυτά που βεβαιώνουν τη συνέπειά τους. Αυτό μοιάζει να υπαινίσσεται πως όποιος πιστεύει με βεβαιότητα πως δεν είναι παράφρων, σίγουρα θα είναι… Όμως η πιο σοβαρή συνέπεια του θεωρήματος της μη πληρότητας στην φιλοσοφία είναι η εξής: Αν και το θεώρημα μπορεί να δηλωθεί και να αποδειχθεί με έναν αυστηρά μαθηματικό τρόπο, αυτό που φαίνεται να λέει είναι ότι η λογική σκέψη δεν μπορεί ποτέ να διεισδύσει στην τελική αλήθεια…

Το θεώρημα του Θεού

Λίγο πριν από τον θάνατό του ο μεγάλος αυστριακός μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ (Kurt Gödel) δημοσιοποίησε μια μαθηματική απόδειξη για την ύπαρξη του Θεού την οποία επεξεργαζόταν επί 30 χρόνια. Η απόδειξη αυτή βασίζεται στη σύγχρονη αξιωματική θεμελίωση των Μαθηματικών, η οποία με τη σειρά της αποτελεί συνέχεια της αρχαιοελληνικής μαθηματικής παράδοσης και της Γεωμετρίας του Ευκλείδη. Σε αυτόν τον τρόπο θεμελίωσης ξεκινάμε με τη διατύπωση αξιωμάτων, δηλαδή υποθέσεων που δεν αποδεικνύονται αλλά φαίνονται προφανείς. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια των αξιωμάτων και της Μαθηματικής Λογικής, μπορούμε να αποδείξουμε θεωρήματα και να οικοδομήσουμε μια ολόκληρη θεωρία. Για παράδειγμα, ένα από τα πέντε αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι το ότι όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Ο Γκέντελ προσπάθησε να «αποδείξει» την ύπαρξη του Θεού ως ένα θεώρημα ξεκινώντας από ένα σύνολο πέντε αξιωμάτων που φαίνονται «προφανή» στο πλαίσιο της Μαθηματικής Λογικής.

Η «απόδειξη» αυτή φάνηκε εξαρχής ότι είχε δύο αδύνατα σημεία. Πρώτον, είναι άραγε τα αξιώματα όντως προφανή και, δεύτερον, είναι άραγε συμβατά μεταξύ τους ώστε να μην έχουν κρυφές ασυνέπειες; Για το πρώτο δεν μπορούμε να κάνουμε και πολλά πράγματα, αφού τα αξιώματα στα Μαθηματικά μπορεί να φαίνονται «λογικά» αλλά κατά τα άλλα είναι αυθαίρετα, οπότε ο Θεός υπάρχει αν τα αξιώματα αυτά αληθεύουν. Το δεύτερο όμως αποτέλεσε αντικείμενο έρευνας για πάνω από 40 χρόνια επειδή έπρεπε να αποδειχθεί ότι τα πέντε αυτά αξιώματα δεν περιέχουν κρυφές αντιφάσεις και άρα είναι αυτοσυνεπή.

Το κατόρθωμα των δύο ευρωπαίων μαθηματικών, του Γερμανού Κρίστοφ Μπεντζμίλερ (Christoph Benzmüller) και του Αυστριακού Μπρούνο Βολτσενλόγκελ Παλέο (Bruno Woltzenlogel Paleo), ήταν ότι κατάφεραν να αναπαραστήσουν τα αξιώματα του Γκέντελ και τους συλλογισμούς του με μαθηματικά σύμβολα. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια εξειδικευμένου λογισμικού που χειρίζεται έννοιες λογικής σε ηλεκτρονικό υπολογιστή, μπόρεσαν αφενός μεν να διαπιστώσουν ότι τα αξιώματα δεν περιέχουν κρυφές αντιφάσεις και αφετέρου να επιβεβαιώσουν την απόδειξη του θεωρήματος.

  *

Ο Γκέντελ έπασχε από έλκος του δωδεκαδακτύλου και ακολουθούσε, με δική του πρωτοβουλία, μια πολύ αυστηρή δίαιτα. Σιγά-σιγά άρχισε να πιστεύει ότι τον δηλητηριάζουν και κατέληξε να αρνείται να φάει το φαγητό του. Το αποτέλεσμα αυτής της κατάστασης, θα έλεγε κανείς, αποτέλεσε το κορυφαίο λογικό παράδοξο υλοποιημένο - και όχι διατυπωμένο - από τον θεμελιωτή της Μαθηματικής Λογικής. Αν δεν έτρωγε, ήταν σίγουρο ότι ο Γκέντελ θα πέθαινε από ασιτία. Αν έτρωγε ίσως να πέθαινε από δηλητηρίαση - αλλά και ίσως όχι. Ο Γκέντελ, πέρα από κάθε λογική, διάλεξε ενσυνείδητα την πρώτη επιλογή - και πέθανε από ασιτία. ο Γκέντελ ήταν κάπως φιλάσθενος και καχεκτικός, συχνά αγνοούσε τους γιατρούς του εξαιτίας της παράλογης δυσπιστίας του απέναντι τους, προκαλώντας προβλήματα στην εύθραυστη υγεία του. Μια ακόμα από τις παράλογες ιδέες που κυριάρχησαν τα τελευταία χρόνια της ζωής του ήταν ότι κάποιοι προσπαθούσαν να τον σκοτώσουν δηλητηριάζοντας το φαγητό του. Έτσι, έτρωγε μόνο το φαγητό που μαγείρευε η γυναίκα του και όταν αυτή δεν μπορούσε να μαγειρεύει πια για τον Γκέντελ , εξαιτίας μιας ασθένειας, αυτός σταμάτησε να τρώει οποιαδήποτε τροφή. Το αποτέλεσμα ήταν να πεθάνει το 1978 σε ηλικία 72 χρόνων από ασιτία και εξάντληση, ενώ ζύγιζε περίπου 30 κιλά!

 *

Ο Κουρτ Γκέντελ γεννήθηκε στις 28 Απριλίου 1906 στο Μπρνο, (σύνορα Αυστρο-Ουγγαρίας) της σημερινής Τσεχίας, την πόλη που Γερμανοί και Αυστριακοί ονομάζουν μέχρι σήμερα Brünn. Oι γονείς του, Ρούντολφ και Μαριάνε, είχαν Γερμανοεβραϊκή καταγωγή και διατηρούσαν σχέσεις μόνο με μέλη της πολυπληθούς γερμανικής κοινότητας της πόλης

  ********888

Ο Γκέντελ πίστευε, όπως και ο Αϊνστάιν, ότι ο άνθρωπος μπορεί να προχωρήσει πέρα από την εμπειρία και να περιγράψει τον κόσμο που « επέκεινα ». Και επειδή η επιστήμη του Γκέντελ ήταν τα μαθηματικά, το « επέκεινα » που τον ενδιέφερε ήταν η σφαίρα της αφηρημένης πραγματικότητας. Η θεώρηση αυτή λέγεται μαθηματικός πλατωνισμός, προς τιμή του αρχαίου Έλληνα φιλοσόφου Πλάτων . Ο πλατωνισμός είναι η άποψη ότι οι αλήθειες των μαθηματικών είναι ανεξάρτητες από ανθρώπινες δραστηριότητες όπως η δημιουργία τυπικών συστημάτων- με τα αξιώματα, τους ορισμούς, τους κανόνες παραγωγής και τις αποδείξεις τους. Καθορίζονται από την μαθηματική πραγματικότητα, από την φύση των αφηρημένων αλλά πραγματικών οντοτήτων που συνθέτουν αυτήν την πραγματικότητα. Για τον Γκέντελ τα μαθηματικά είναι ένα μέσο για να αποκαλύπτουμε πτυχές της αντικειμενικής μαθηματικής πραγματικότητας, όπως για τον Αϊνστάιν η φυσική είναι ένα μέσο για να αποκαλύπτουμε όψεις της αντικειμενικής φυσικής πραγματικότητας. Ο μαθηματικός πλατωνισμός του Γκέντελ δεν ήταν κάτι ασυνήθιστο. Πολλοί μαθηματικοί υιοθετούν τον μαθηματικό ρεαλισμό, αλλά και όσοι δεν το κάνουν ανοιχτά, όταν πιέζονται να καταθέσουν τη μετα-μαθηματική τους άποψη συχνά αποκαλύπτονται με το να μιλούν για τις μαθηματικές τους « ανακαλύψεις ». Έτσι, υπό τη μεθυστική επήρεια του πλατωνικού οράματος για την αλήθεια, ο Γκέντελ πήρε την απόφαση να αφοσιωθεί στα μαθηματικά και δη στα μαθηματικά με « αυθεντική σημασία ». Πίστευε πως μόνο τα μαθηματικά έχουν μετα-σημασία, αφού χάρη στην κατεξοχήν φιλοσοφική τους υφή είναι διάφανα στο αντικειμενικό φως της ιδεατής αλήθειας. (βλ. παράρτημα 3, σελ.84-90,324-326)

 *

Ο Γκέντελ, το 1930, σε ηλικία μόλις 23 ετών απέδειξε στη μαθηματική λογική το λεγόμενο θεώρημα της μη πληρότητας - για την ακρίβεια, απέδειξε δύο θεωρήματα μη πληρότητας που συνδέονται λογικά μεταξύ τους.

Σύμφωνα με το θεώρημα του Γκέντελ, ισχύει γενικά η ακόλουθη δήλωση : Σε κάθε τυπικό σύστημα επαρκές για τη θεωρία αριθμών, υπάρχει ένας μη αποφασίσιμος μαθηματικός τύπος- δηλαδή, ένας τύπος που δεν είναι αποδείξιμος και που η άρνηση του είναι επίσης μη αποδείξιμη. (Η δήλωση αυτή αναφέρεται και ως πρώτο θεώρημα του Γκέντελ).

Από το θεώρημα αυτό απορρέει το πόρισμα ότι η συνέπεια ενός τυπικού συστήματος επαρκούς για τη θεωρία αριθμών δεν μπορεί να αποδειχθεί εντός αυτού του συστήματος. (Αυτό το συμπέρασμα αναφέρεται άλλοτε ως θεώρημα του Γκέντελ και άλλοτε ως δεύτερο θεώρημα του Γκέντελ)

   *

Με άλλα λόγια το θεώρημα μη πληρότητας μας λέει πως όποια και αν είναι τα αξιώματα που εξετάζουμε, είτε έχουν πεπερασμένο πλήθος είτε προκύπτουν με αναδρομικό τρόπο, θα υπάρχουν πάντοτε ερωτήματα στα οποία δεν θα μπορούμε να απαντήσουμε, που θα παραμένουν αναποκρίσιμα και για τα οποία θα λείπουν πάντοτε κάποιες πληροφορίες.  Στην πραγματικότητα, με τη βαθύτερη σημασία του, το θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ δείχνει ότι δεν μπορούμε να αναγάγουμε τα μαθηματικά σε μια τυπική γλώσσα. Το θεώρημα του Γκέντελ δείχνει ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατον. Όσο πολύπλοκο κι αν είναι ένα τυπικό σύστημα, θα υπάρχει πάντοτε μια απόφανση, που θα αφορά τους θετικούς ακέραιους αριθμούς, η οποία θα είναι ταυτόχρονα και αληθής και αναπόδειχτη στα πλαίσια του τυπικού συστήματος

 *

Ο Γκέντελ δεν έγινε ποτέ ιδιαίτερα γνωστός ούτε στην εποχή του ούτε στη δική μας, παρ’ όλο που το έργο του υπήρχε ισάξιο με του Αϊνστάιν. Τα θεωρήματα αυτού του ανθρώπου, μαζί με την αρχή της απροσδιοριστίας του Χάιζενμπεργκ και τη σχετικότητα του Αϊνστάιν, συνθέτουν το θεωρητικό τρίπτυχο που συγκλόνισε τα θεμέλια των « θετικών επιστημών ». Πρόκειται για τρεις ανακαλύψεις που μας εισάγουν σε έναν κόσμο ανοίκειο, έναν κόσμο που συγκρούεται τόσο ριζικά με όλες τις προηγούμενες υποθέσεις και διαισθήσεις μας, ώστε έναν αιώνα μετά ακόμα προσπαθούμε να τον καταλάβουμε.

   *

Ο Gödel πέρασε το ακαδημαϊκό έτος 1933-34 στο Princeton του New στο τότε νεοϊδρυθέν Ινστιτούτο Ανώτατων Σπουδών, όπου και έδινε διαλέξεις πάνω στα θεωρήματά του περί μη πληρότητας.  Του προτάθηκε να παραμείνει και για τον επόμενο χρόνο αλλά λίγο μετά την επιστροφή του στη Βιέννη κατέρρευσε διανοητικά. Καθώς δεν είναι δυνατή η πρόσβαση στα εμπιστευτικά ιατρικά έγγραφα (συμβουλευόταν ψυχίατρο στο Princeton), η διάγνωση της ασθένειάς του παραμένει αναγκαστικά άγνωστη.  Τα προβλήματά του φαίνεται να άρχισαν με υποχονδρία: απέκτησε εμμονή για τη δίαιτά του και κρατούσε καθημερινά στοιχεία για τη θερμοκρασία του σώματός του και την κατανάλωση γάλατος μαγνησίας. Φοβόταν κάποια τυχαία ή, αργότερα, εσκεμμένη δηλητηρίαση. Η συγκεκριμένη φοβία τον οδήγησε στην αποφυγή του φαγητού και μοιραία στον υποσιτισμό. Ταυτόχρονα, έπαιρνε διάφορα χάπια για να αντιμετωπίσει ένα καρδιακό πρόβλημα που βρισκόταν μόνο στη φαντασία του.

   Είναι εκπληκτικό ότι, εκτός από  τις στιγμές κρίσης, τα ψυχικά προβλήματα του Gödel πολύ λίγο εμπόδισαν την εργασία του. Το πρόσωπο που τον στήριξε ήταν η Adele Porkert, την οποία είχε γνωρίσει σε ένα καμπαρέ κατά τα φοιτητικά του χρόνια. Η Porkert ήταν έξι χρόνια μεγαλύτερη από τον Gödel, χωρισμένη, καθολική, με πρόσωπο παραμορφωμένο από ένα εκ γενετής σημάδι, εργαζόταν δε ως χορεύτρια. Οι γονείς του τη θεώρησαν σκανδαλώδη. Οι δυο τους όμως ήταν αφοσιωμένοι ο ένας στον άλλον. Η Porkert, κάνοντας συχνά τον δοκιμαστή, καταπράυνε τις αυξανόμενες φοβίες του Gödel, ότι τάχα κάποιος προσπαθούσε να τον δηλητηριάσει. Μετά από μακρόχρονο ειδύλλιο, οι δυο τους παντρεύτηκαν τον Σεπτέμβριο του 1938, λίγο πριν επιστρέψει ο Gödel στην Αμερική για να διδάξει στο Ινστιτούτο Ανώτατων Σπουδών του πανεπιστημίου της Notre Dame, με αντικείμενο ορισμένα καινούργια θεωρήματά του στη θεωρία συνόλων. Τρία χρόνια αργότερα τιμήθηκε με το Εθνικό Μετάλλιο της Επιστήμης, όμως δεν παραβρέθηκε στην τελετή απονομής με αιτιολογικό τα προβλήματα υγείας. Την 1η Ιουλίου 1976, όταν έφτασε σε ηλικία 70 ετών, ηλικία υποχρεωτική για συνταξιοδότηση, ανακηρύχτηκε επίτιμος διδάκτωρ του Ινστιτούτου.    Οι ευθύνες του όμως δεν λιγόστεψαν, καθότι, λίγους μήνες πριν, η σύζυγός του, που χρόνια τον έθρεφε και τον προστάτευε, υπέστη εγκεφαλικό επεισόδιο που την οδήγησε σε αναπηρία. Ήταν η σειρά του να τη φροντίσει και τη φρόντιζε, με αφοσίωση, έως τον Ιούνιο του 1977, έτος κατά το οποίο η γυναίκα του χειρουργήθηκε επειγόντως και παρέμεινε στο νοσοκομείο επί έξι μήνες.

Περίπου αυτή την εποχή ο Morgenstern, ο φίλος που βοήθησε στη φροντίδα του Gödel μετά τον θάνατο του Αϊνστάιν, πέθανε από καρκίνο. Έτσι ο Gödel έπρεπε να αντιμετωπίσει μόνος του την αυξανόμενη παράνοια. Εν όψει μιας τέτοιας προοπτικής χειροτέρεψε αστραπιαία. Η φοβία της δηλητηρίασης τον οδήγησε σε ασιτία και το τέλος επήλθε τη 14η Ιανουαρίου 1978. 

   Η Adele Gödel επέζησε του συζύγου της κατά τέσσερα έτη. Με τον θάνατό της, στις 4 Φεβρουαρίου του 1981, κληροδότησε τα δικαιώματα των εργασιών του Gödel στο Ινστιτούτο Ανώτατων Σπουδών. Αν και απόβλητη από τη σνομπ κοινωνία του Princeton, ήταν περήφανη για το έργο του συζύγου της και πιθανότατα αντιλαμβανόταν ότι δίχως τη δική της βοήθεια ο σύζυγός της δεν θα είχε πετύχει πολλά.

  *

Το θεώρημα της Μη Πληρότητας δεν περιορίζεται σε ένα Μαθηματικό Σύνολο στο οποίο έχουν διατυπωθεί κάποιες Αρχές (Αξιώματα κλπ) όπως μια Ομάδα, μια Άλγεβρα, μια Γεωμετρία κλπ, αλλά η εφαρμογή του επεκτείνεται και σε οποιοδήποτε νοητικό κατασκεύασμα (όπως ένα Φιλοσοφικό ή ένα Θρησκευτικό Σύστημα) στο οποίο επιθυμούμε να εφαρμόσουμε τους κανόνες της Τυπικής Λογικής.

Σύμφωνα, λοιπόν, με το Θεώρημα αυτό υπάρχουν άπειρες προτάσεις (κρίσεις ή συλλογισμοί) για τις οποίες είναι αδύνατο να αποδειχθεί η αλήθεια τους με βάση τις Αρχές που τέθηκαν και τις προηγούμενα αποδεδειγμένες προτάσεις. Και σα να μην έφτανε αυτό, όταν βρισκόμαστε μπροστά σε μια πρόταση η οποία επιμένει να μην αποδεικνύεται, δε μπορούμε να είμαστε σίγουροι για το αν, η πρότασή μας αυτή, παραμένει αναπόδεικτη εξ αιτίας του ότι κανείς δεν έχει, μέχρι του σημείου εκείνου, βρει μιαν απόδειξη ή γιατί, η εν λόγω πρόταση, ανήκει σε αυτές που προβλέπει το Θεώρημα της Μη Πληρότητας!

  **

Ας έρθουμε στην ουσία του ερωτήματος που υποκρύπτεται στον τίτλο του κειμένου αυτού.

* Μπορεί, λοιπόν, ένα Φιλοσοφικό ή Θρησκευτικό Σύστημα να θεωρεί τον εαυτόν του (δηλαδή αυτοί που το επινοήσανε) ως την Απόλυτη Αλήθεια με την έννοια ότι, οι Αρχές του αποτελούν εκείνο το υλικό με βάση το οποίο  κάθε πρόβλημα να έχει τη λύση του;

Η απάντηση είναι ένα σκέτο όχι!

* Μπορούμε με τα «καθαρά» Μαθηματικά να προσεγγίσουμε την Απόλυτη Αλήθεια;

Η απάντηση είναι και πάλι ένα σκέτο όχι!

* Υπάρχει «Απόλυτη Αλήθεια»;

Αν πάντως υπάρχει θα πρέπει να είναι ά-λογη!

  *

Οι Γκέντελ και Αϊνστάιν έφτασαν στην Αμερική κυνηγημένοι από την θύελλα του Ναζισμού στη δεκαετία του ’30, και μάλιστα βρήκαν καταφύγιο στο ίδιο ήσυχο ακαδημαϊκό περιβάλλον, στο Πρίνστον, μια κλειστή λέσχη διανοουμένων, που τα μέλη της δεν είχαν άλλο καθήκον από το να σκέφτονται. Οι δύο τους μαζί με έναν άλλο γερμανόφωνο θεωρητικό, τον Βέρνερ Χάιζενμπεργκ, υπέγραψαν τρία από τα βασικότερα επιστημονικά ευρήματα του αιώνα. Και οι τρεις με τις ανακαλύψεις τους ανέδειξαν κάποιον κρυμμένο και ανησυχητικό περιορισμό.

Ο Αϊνστάιν με τη θεωρία της σχετικότητας έθεσε ένα όριο – την ταχύτητα του φωτός – στη ροή κάθε σήματος που μεταφέρει πληροφορίες.

Ο Χάιζενμπεργκ με τη θεωρία της κβαντομηχανικής έθεσε όριο στην ακρίβεια των μετρήσεων στο μικρόκοσμο – δεν μπορούμε να μετρήσουμε ακριβώς τη θέση, την ενέργεια και την ορμή των σωματιδίων όταν επιχειρούμε να τα παρατηρήσουμε.

Τέλος ο Γκέντελ με το θεώρημα της μη πληρότητας έδειξε ότι υπάρχει ένα όριο στη γνώση μας για το κάθε τι, γιατί πάντα θα απαιτούνται περισσότερα στοιχεία που αναγκαστικά θα μας δίνονται μόνο απ’ έξω από το υπό μελέτην σύστημα. Σύμφωνα λοιπόν με αυτό ποτέ δεν θα συλλάβουμε το σύνολο των μαθηματικών αληθειών με μια πεπερασμένη ή αναδρομική λίστα καθαρά τυπικών αξιωμάτων.

Η βαθιά φιλία του Άλμπερτ Αϊνστάιν με τον Κουρτ Γκέντελ "άφησε εποχή".  Αποδείχθηκε πολύ σημαντική, τόσο για την ίδια την επιστήμη όσο και για τους δύο κορυφαίους επιστήμονες. Οι ανακαλύψεις τους – στο πλαίσιο των συγκλονιστικών ρευμάτων της φυσικής, της φιλοσοφίας της λογικής, των μαθηματικών και της τέχνης που κατέκλυσαν τον εικοστό αιώνα- ήταν κοσμοϊστορικές.

Στα 29 του βρίσκεται στο Πρίνστον όπου εμπνέει τον Άλαν Τιούρινγκ με την Αριθμητική του. Στην Αμερική όμως η σύζυγός του περνά δύσκολες ώρες μαζί του, αλλά ο Αϊνστάιν, βρίσκει στο πρόσωπό του τον τέλειο φίλο. Οι δυο τους σφυρηλατούν θεωρίες που συγκλονίζουν τα θεμέλια των θετικών επιστημών.

  *********8888

Το θεώρημα της Μη Πληρότητας του Γκέντελ

Από την εποχή του Πλάτωνα μέχρι και τις πρώτες δεκαετίες του 20ου αιώνα υπήρχε η άποψη πως… κάπου εκεί ψηλά, κάπου ανάμεσα στην ανθρώπινη σκέψη, στην σφαίρα της φαντασίας και την θεϊκή δημιουργία, υπήρχε η απόλυτη αλήθεια. Αυτή που, αν ποτέ βρίσκαμε, θα γινόταν ο αλάνθαστος οδηγός μας στην ερμηνεία κάθε δυνατού φαινομένου.  Στο πέρασμα των αιώνων οι μεγαλύτεροι φιλόσοφοι της ιστορίας πραγματεύτηκαν το συγκεκριμένο θέμα, συμφωνώντας πως αν κάτι είναι αλάνθαστο, τότε αυτό είναι η λογική. Από που όμως πηγάζει η λογική; Μπορεί ο άνθρωπος να φτάσει στον «βυθό» της; Υπάρχει απάντηση σε κάθε ερώτημα;

Το 1931 ήρθε η απάντηση, που μάλλον κανείς δεν θα περίμενε. Ο Κουρτ Γκέντελ, στα 25 του χρόνια, απέδειξε την… ανεπάρκεια της λογικής. Τα μαθηματικά, με έναν περίεργο τρόπο, ξεκινούν νωρίτερα της, ενώ το έναυσμα της λογικής δεν προέρχεται από κάποια θεϊκή αλήθεια, αλλά από πολύ βασικές ανθρώπινες παραδοχές!

Το 1902 ο γερμανός μαθηματικός Γκότλομπ Φρέγκε (Gottlob Frege) προσπάθησε να δημιουργήσει ένα σύστημα συμβολικής λογικής που να αποτελεί τη βάση όλων των μαθηματικών. Το σύστημα του χαρακτηριζόταν από απόλυτη αυστηρότητα, είχε τον ελάχιστο δυνατό αριθμό αυθαίρετων παραδοχών και η δόμηση του γινόταν με απόδειξη βήμα βήμα. Όμως ο γνωστός βρετανός μαθηματικός και φιλόσοφος επεσήμανε στον Γκότλομπ Φρέγκε μια αντίφαση που είχε το σύστημα του. Τελικά ο Φρέγκε κατάλαβε ότι όλη του η εργασία ήταν άχρηστη, αφού δεν μπορούσε να αντιμετωπίσει ή να εξαλείψει αυτή την αντίφαση. Αργότερα απέτυχαν κι άλλοι μαθηματικοί να θεμελιώσουν τα μαθηματικά σε μια τυπική λογική βάση.

Το 1931 ο Κουρτ Γκέντελ έθεσε τέλος σε όλα αυτά τα επιχειρήματα με το Θεώρημα της Μη Πληρότητας ή του Γκέντελ όπως λέγεται. Ο Γκέντελ μετέφρασε τα σύμβολα της συμβολικής λογικής σε αριθμούς κατά συστηματικό τρόπο και απέδειξε ότι είναι πάντα δυνατόν να βρεθεί ένας αριθμός στον οποίο δεν μπορούμε να καταλήξουμε αρχίζοντας από τους άλλους αριθμούς του συστήματος.

Ο Γκέντελ τελικά καταλήγει στην εξής διατύπωση για το θεώρημα της μη πληρότητας: κάθε σύστημα αξιωμάτων περιλαμβάνει προτάσεις τις οποίες δεν μπορούμε να διερευνήσουμε αν είναι αληθείς ή ψευδείς, με τα μέσα που μας δίνει το ίδιο το σύστημα. Με άλλα λόγια, για να μπορέσουμε να αποδείξουμε τις αξιωματικές αυτές προτάσεις πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα άλλο σύστημα αξιωμάτων ακόμα πιο ευρύ, που να περιέχει το προηγούμενο. Έτσι όμως, μένουμε και πάλι με την αδυναμία μας να αποδείξουμε το ευρύτερο αυτό σύστημα, και χρειαζόμαστε κάτι ακόμα ευρύτερο. Τελικά φαίνεται ότι η  γνώση μας για το κάθε τι πάντα θα απαιτεί περισσότερα στοιχεία, που αναγκαστικά θα μας δίνονται μόνο απ’ έξω από το υπό μελέτην σύστημα.

Με αυτό το θεώρημα, ο Γκέντελ έθεσε τέλος στην αναζήτηση της βεβαιότητας στα μαθηματικά, αποδεικνύοντας ότι δεν υπάρχει βεβαιότητα και δεν μπορεί να υπάρξει. όπως ακριβώς είχε κάνει ο Χάιζενμπεργκ στην φυσική.

    Τα δύο θρυλικά θεωρήματα της μη πληρότητας

    Αν ένα σύστημα είναι συνεπές, τότε δεν μπορεί να είναι πλήρες

    Η συνέπεια των αξιωμάτων δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσω του συστήματος

    Τα παραπάνω ισχύουν για κάθε σύνολο αξιωμάτων που είναι επαρκές για να περιγράψει την δομή και την αριθμητική των φυσικών αριθμών. Τι σημαίνει όμως συνεπές και πλήρες; Ενα λογικό σύστημα ονομάζεται συνεπές όταν δεν έχει αντιφάσεις, δηλαδή όταν μια πρόταση δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ταυτόχρονα ως αληθής και ψευδής. Από την άλλη, πλήρες είναι ένα σύστημα όπου όλες οι προτάσεις του είναι είτε αληθείς , είτε ψευδείς.  Το Θεώρημα της μη-πληρότητας, αποδεικνύει ουσιαστικά ότι ακόμη και στα μαθηματικά, το απώτατο προπύργιο του ορθολογισμού, η αποδεικτική δύναμη της Λογικής έχει όρια. Ότι δηλαδή σε κάθε θεωρία, όσο καλο-δομημένη κι αν είναι, με όσα μη-αντιφατικά αξιώματα κι αν εξοπλισθεί, θα μείνουν πάντα αλήθειες μη-αποδείξιμες, απροσπέλαστες απ’ τη μέθοδο του «ένα και ένα κάνουν δύο». Αυτό φυσικά διόλου δεν σημαίνει ότι το Θεώρημα δείχνει πως η Λογική είναι σαθρό εργαλείο. Καθόλου. Βάζει όμως φραγμό στην παντοδυναμία της. Ή με άλλα λόγια λέει ότι ανεξάρτητα από το πόσο σκληρά προσπαθείτε, ποτέ δεν θα είσαστε σε θέση να μειώσετε όλα μαθηματικά για να εφαρμόσετε σταθερούς κανόνες. Ανεξάρτητα από πόσους κανόνες και διαδικασίες γράφετε, θα υπάρχουν πάντα μερικά αληθινά γεγονότα που δεν θα μπορείτε να αποδείξετε.

Ωστόσο, το θεώρημα του Γκέντελ δεν επηρεάζει τα συνήθη μαθηματικά. Δύο συν δύο εξακολουθούν να κάνουν τέσσερα.

Μερικοί επιστήμονες, όπως ο μαθηματικός και φυσικός της Οξφόρδης Roger Penrose, έχουν χρησιμοποιήσει το θεώρημα της Μη Πληρότητας για να υποστηρίξουν ότι ο ανθρώπινος εγκέφαλος δεν λειτουργεί σαν τον υπολογιστή, και ειδικότερα ότι δεν είναι επιτεύξιμη η τεχνητή νοημοσύνη. Σύμφωνα με την ερμηνεία του Penrose του θεωρήματος του Γκέντελ, τα μαθηματικά έχουν ένα στοιχείο που είναι απολύτως δημιουργικό.

Από μια άλλη άποψη το θεώρημα αυτό δείχνει πως για να μπορέσει να καταλάβει πλήρως το σύμπαν πρέπει να το θεωρήσει παρατηρώντας το από μια θέση έξω απ’ αυτό. Μέσα στο σύμπαν υπάρχουν όρια για την κατανόηση του. Μήπως λοιπόν είναι ανώφελο να ψάχνουμε για να βρούμε όλες τις απαντήσεις για τον Κόσμο μας; μήπως τα μυστικά του Κόσμου είναι καλά κρυμμένα για τις οντότητες που είναι μέσα σε αυτόν;

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΠΟΥΤΣΗΣ