ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΕς ΕΞΙΣΏΣΕΙς

Ο Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς ήταν Έλληνας μαθηματικός του τρίτου αιώνα (περίπου 210 – 290), ο οποίος έζησε στην Αλεξάνδρεια της ρωμαϊκής Αιγύπτου. Έχει αποκληθεί «πατέρας της άλγεβρας» εξαιτίας του εμβληματικού έργου του «Αριθμητικά», όπου περιέχονται αλγεβρικά προβλήματα τα οποία λύνονται με εξισώσεις και συστήματα πρώτου και δευτέρου βαθμού. Ο Διόφαντος συνεισέφερε πολύ στην ανάπτυξη της αριθμητικής, καθιέρωσε και τυποποίησε έναν τύπο σύντομου μαθηματικού συμβολισμού για τη γραφή προβλημάτων, για πρώτη φορά σε ευρεία κλίμακα άρχισε να χρησιμοποιεί τα κλάσματα ως πραγματικούς αριθμούς και ασχολήθηκε με την επίλυση εξισώσεων με πολλαπλούς αγνώστους όρους. Ωστόσο ακόμα και με τον Διόφαντο ο ελληνικός μαθηματικός συμβολισμός παρέμεινε βασισμένος στον καθημερινό λόγο και δύσχρηστος με τα σημερινά δεδομένα.

Όταν λέμε Διοφαντική εξίσωση εννοούμε μία συνηθισμένη γραμμική εξίσωση, για παράδειγμα η "ax+by=c", στην οποία οι άγνωστοι (x, y) μπορούν να έχουν µόνο ακέραιες λύσεις.  Σε αυτές τις περιπτώσεις, για να υπάρχει λύση, αναγκαία και ικανή συνθήκη είναι ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ) των συντελεστών (a,b) των αγνώστων να διαιρεί το c.  Επιπλέον αν (x',y') είναι μία λύση της διοφαντικής εξίσωσης τότε το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης δίνεται από τα ακέραια ζεύγη (x,y) όπου x=x'+tb/d και y=y'-ta/d όπου t ακέραιος αριθμός.

Εξισώσεις που απαιτούν ως λύσεις μόνο ακέραιους αριθμούς. Φέρουν το όνομα του πατέρα της άλγεβρας, Διόφαντου (3ος αι. π.Χ.)

Τις αντιμετωπίζουμε συχνά στην καθημερινή μας ζωή:

θέλω την υπέροχη συνταγή της γιαγιάς για κέικ σε τριπλή δόση. Πόσα αυγά, πόσα πορτοκάλια, πόσες συσκευασίες ζάχαρης, γάλατος, βανίλιας και βιτάμ να αγοράσω; Η σχετική εξίσωση μπορεί να δίνει ως λύσεις (εκφρασμένες σε γραμμάρια ή μιλιλίτρα) δεκαδικούς αριθμούς αλλά δεν μπορώ να αγοράσω 1+3/4 λίτρα γάλατος, ούτε επτάμισι αυγά, ούτε δυόμισι συσκευασίες βανίλιας. Το ίδιο αντιμετωπίζει μια ναυτιλιακή εταιρία αν θέλει να εξυπηρετήσει σε ένα καλοκαιρινό δρομολόγιο περισσότερους ταξιδιώτες: πρέπει να επανδρώσει ένα ακέραιο αριθμό περισσότερων πλοίων.

Ο Χίλμπερτ το 1900 παρέθεσε στους μαθηματικούς τον επόμενων γενεών 23 δύσκολα προβλήματα. Το δέκατο πρόβλημα ζητούσε ένα αλγόριθμο (μια τυπική διαδικασία) για να βρίσκουμε αν μια διοφαντική εξίσωση με οσουσδήποτε ακέραιους συντελεστές έχει ή δεν έχει ακέραιες λύσεις.

Το 1970 ο Ματιάσεβιτς απέδειξε ότι δεν υπάρχει τέτοια διαδικασία.  Τέτοια διαδικασία ωστόσο υπάρχει για τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις τριών συντελεστών (αχ2+βχ+γ=0) που διδαχθήκαμε στο Λύκειο: από τη διακρίνουσα Δ=β2-4αγ, ανακαλύπτουμε αν η εξίσωση έχει πραγματικές λύσεις ή όχι χωρίς καν να λύσουμε την εξίσωση!

Εκ των προβλημάτων, τα όποια πραγματεύεται ο αριθμητικός της Αλεξανδρείας μερικά είναι πρώτου βαθμού, αλλά δευτέρου βαθμού και ένα μόνον του τρίτου.
Μερικά είναι ωρισμένα, αλλά απροσδιόριστα. Των τελευταίων τούτων ο Διόφαντος δεν έρευνα τας ακεραίας και θετικάς λύσεις, όπως συνηθίζομεν σήμερον, αλλά μόνον τας θετικάς ρητάς λύσεις. Τούτο προφανώς καθίστα την έρευναν πολύ ευκολωτέραν και αποδεικνύει ότι είναι πράγματι αδικαιολόγητος η ονομασία Διοφαντική ανάλυσις, η οποία εδόθη εις την απροσδιόριστον ανάλυσιν, ακόμη και εκ μέρους εκείνων (και αρκεί ν' αναφέρομεν το ένδοξον άνομα του Jacobi) οι όποιοι εγνώριζον κατά βάθος το έργον του Διόφαντου.

Μία γενική επισκόπησις των προβλημάτων πού πραγματεύεται o Διόφαντος, φέρει εις φως, ότι δύνανται να κατανεμηθούν εις ομάδας και ότι τα στοιχεία εκάστου συνδέονται μεταξύ των με προφανείς αναλογικάς σχέσεις. Επί πλέον ότι ο Διόφαντος δεν εξήτασε πάντοτε όλα τα προβλήματα, τα όποια θα είχον δικαίωμα να περιληφθούν εις την ιδίαν ομάδα. Κατά πόσον τα προκύπτοντα κενά είναι αποτέλεσμα εσκεμμένης ενεργείας του συγγραφέως η επεβλήθησαν εις το κείμενον από αντιγραφείς μικράς αξιοπιστίας, είναι σήμερον αδύνατον να   εξακριβώσωμεν.

Αι μέθοδοι, τας οποίας ακολουθεί ο μέγας Έλλην αριθμητικός δια την λύσιν των εξεταζομένων προβλημάτων,
δεν εκτίθενται υπό τούτου με όρους γενικούς, άλλ' εφαρμόζονται απλώς από περιπτώσεως εις περίπτωσιν. Επαφίεται λοιπόν εις τον αναγνώστην να εξαγάγη εκ των εφαρμογών γενικά συμπεράσματα. Ούτω βλέπομεν, ότι δια να λύση ένα πρόβλημα πρώτου βαθμού με ένα άγνωστον, προβαίνει περίπου κατά την σύγχρονον μέθοδον της συγκεντρώσεως - εις το ένα μέλος της εξισώσεως των όρων πού έχουν τον άγνωστον, εις δε το άλλο μέλος τους γνωστούς όρους. Τοιουτοτρό­πως το πρόβλημα ανάγεται εις την εκτέλεσιν μιας διαιρέσεως η εις την αναζήτησιν μιάς τετάρτης αναλόγου. Όταν κατόπιν ο Διόφαντος επιλαμβά­νεται προβλήματος αναγομένου εις ωρισμένον σύστημα γραμμικών εξι­σώσεων, συναντά μίαν δυσκολίαν άγνωστον εις ημάς, η οποία προήρχετο εκ του γεγονότος ότι όντος διέθετε, ένα μόνον σύμβολον προς παράστασιν των αγνώστων. Δια την υπερνίκησιν της δυσκολίας αυτής εξέ­φραζε τους λοιπούς αγνώστους συναρτήσει ενός προνομιούχου, ο όποιος δεν ήτο πάντοτε ένας εξ εκείνων, πού εισήρχοντο εις την εκφώνησιν του προβλήματος, αλλά συχνά ήτο ένας βοηθητικός άγνωστος, εκλεγόμενος εις εκάστην ιδιαίτερον περίπτωσιν. Ακριβώς δε εις την εκλογήν τοιούτου βοηθητικού άγνωστου ο Διόφαντος έδωσεν εξαιρετικά δείγματα ευφυΐας και γονιμότητος, τα όποια ίσος να έφθασαν, αλλά δεν υπερέ­βησαν οι μεταγενέστεροι   μαθηματικοί.

Είναι δυσκολώτερον να εξαγάγωμεν κάποιον συμπερασμόν γενικού χαρακτήρος, όσον αφορά τας λύσεις των διοφαντικών προβλημάτων, αι οποίαι ισοδυναμούν προς λύσεις δευτεροβαθμίων εξισώσεων, αφού π.χ. δεν κατέστη ακόμη δυνατόν να μάθωμεν μετά βεβαιότητος, εάν ούτος εγνώριζε τας δύο ρίζας της δευτεροβαθμίου εξισώσεως εις την περίπτωσιν πού είναι αμφοτέραι θετικαί. Και το σκότος γίνεται μεγαλύτερον όσον άφορα τον τρόπον, τον οποίον ακολουθεί δια ν' αναγνώριση ότι η κυ­βική εξίσωσις :

χ³-3χ²+3χ-1=χ²+2χ+3

έχει ρίζαν χ = 4, μολονότι φαίνεται πιθανή η υπόθεσις, ότι έφθασεν εις το συμπέρασμα τούτο αφού προηγουμένως έδωσεν εις αυτήν την ακόλουθον μορφήν:

χ(χ²+1) = 4(χ²+1).

Η ίδία ποικιλία ευφυέστατων τεχνασμάτων, πού απαντάται εις την λύσιν συστημάτων πρώτου βαθμού, εφαρμόζεται και προκειμένου περί συστημάτων εξισώσεων, των οποίων μία τουλάχιστον είναι δευτεροβάθμιος, εις τρόπον ώστε η μελέτη του Διόφαντου να είναι ακόμη και σήμερον πολύ διδακτική δι εκείνον πού επιθυμεί να εξοικειωθή με την λύσιν τοιούτων συστημάτων.

Από όλα αυτά δυνάμεθα να συμπεράνωμεν, ότι κατά τον χειρισμόν ωρισμένων προβλημάτων, ο Διόφαντος ενεργεί κατά τρόπον μη διαφέροντα εκείνου, τον οποίον θα ηκολούθει ένας σύγχρονος αλγεβριστής. Αλλά τούτο δεν δύναται να επαναληφθή προκειμένου περί των αορί­στων προβλημάτων. Εν πρώτοις, ενώ ημείς σήμερον εις τα προβλήματα του είδους τούτου απαιτούμεν την γενικήν λύσιν εις ακεραίους και θετικούς αριθμούς, ο Έλλην μαθηματικός περιορίζεται εν γένει εις την εύρεσιν μιας ειδικής λύσεως εις αριθμούς ρητούς θετικούς. Ούτως εχόντων των πραγμάτων, είναι φανερόν ότι δια τον Διόφαντον δεν υφίσταται πρόβλημα απροσδιο­ρίστου αναλύσεως πρώτου βαθμού, αφ' ης στιγμής δοθείσης μιας αυθαι­ρέτου τιμής χ₀ του αγνώστου   χ, μικροτέρας  του λόγου γ/α, η εξίσωσις

αχ + βy = γ

επαληθεύεται από τον ρητόν θετικόν αριθμόν:

Όταν όμως μεταξύ των εξισώσεων του προβλήματος ευρίσκονται και δευτεροβάθμιοι, ο Διόφαντος δέχεται δια μερικούς αγνώστους εκφρά­σεις περιέχουσας ένα αόριστον, και εκλέγει  τούτους  κατά τρόπον ώστε το όλον να είναι ρητόν. Π.χ. εις την εξίσωσιν

_Χ² + y² = α² + β²

θέτει

χ = λξ-α

y = μξ-β

όπου λ, μ αυθαίρετοι σταθεραί και ξ μία προσδιοριστέα ποσότης. Ευρίσκει ούτω:

και τότε οι άγνωστοι χ, y προκύπτουν ρητοί. Μας είναι αδύνατον να μνημονεύσωμεν τας ποικίλας μορφάς, υπό τας οποίας ο Διόφαστος εφαρμόζει την ιδέαν αυτήν, αν και παρέχουν ισάριθμα δείγματα απαραμίλλου δεξιοτεχνίας εις τους υπολογισμούς. Θ' αρκεσθώμεν μάλλον εις το να παρατηρήσωμεν ότι πλείστα των διοφαντικών προβλημάτων οδηγούν εις το ακόλουθον γενικόν πρόβλημα: Δοθεισών δύο αλγεβρικών ρητών ακε­ραίων συναρτήσεων πρώτου η δευτέρου βαθμού με ένα άγνωστον, να προσδιορισθώ μία τιμή τούτου, δια την οποίαν αι δύο συναρτήσεις ν' αποκτούν τετραγωνικάς τιμάς. Η λύσις μιας τοιαύτης «διπλοϊσότητος» εις το πεδίον των ακεραίων αριθμών είναι επιχείρησις αρκετά δυσχερής, αλλά και εις το πεδίον των ρητών αριθμών παρουσιάζει τεραστίας δυσκο­λίας, τας οποίας ο ίδιος ο Διόφαντος δεν ηδυνήθη να υπερνίκηση παρά μόνον εις ειδικάς περιπτώσεις, καταφεύγων μάλιστα ενίοτε εις την, υπ' αυτού ονομασθείσαν «προσεγγιστικήν μέθοδον», η οποία αποτελεί μίαν μορφήν του κανόνος της «αυθαιρέτου αφετηρίας» (Regula falsi).

Παραδείγματα διπλών ισοτήτων απαντώνται εις το VI βιβλίον του υπό εξέτασιν έργου, το βιβλίον δε τούτο κατ' αντίθεσιν προς τα προη­γούμενα παρουσιάζει απόλυτον ενότητα και αποσκοπεί εις την κατα­σκευήν τριγώνων ορθογωνίων με πλευράς μετρούμενος υπό ρητών αρι­θμών πληρούντων ωρισμένας συνθήκας. π.χ. την συνθήκην, όπως η διχο­τόμος της ορθής γωνίας εκφράζηται επίσης δια ρητού αριθμού η όπως το εμβαδόν του τριγώνου προσλαβόν «τὸν ἐν ἑκατέρᾳ τῶν ὀρθῶν, ποιῇ τετράγωνον» - «τον εν εκατέρα των ορθών, ποιή τετράγωνον» ¹.

Ας σημειωθή τέλος, ότι μεταξύ των προβλημάτων τα όποια πραγματεύεται ο Διόφαντος, ένα μόνον έχει συνάφειαν με τον πρακτικόν βίον, το ακόλουθον: «Ἠγόρασε τὶς δύο εἴδη οἴνου, ἐκ μὲν τοῦ ἑνὸς τὸν χοέα πρὸς 8 δραχμᾶς, ἐκ δὲ τοῦ ἄλλου τὸν χοέα πρὸς 5 δραχμᾶς καὶ εἶπεν ὅτι ἡ τιμὴ τοῦ ὅλου νὰ εἶναι τετράγωνος ἀριθμός, ὁ ὅποιος, προστιθέμενος εἰς τὸ 60 ἐσχημάτιζε τετράγωνον ἀριθμόν, τοῦ ὁποίου ἡ τετραγωνικὴ ρίζα ἰσοῦται πρὸς τὸ ἄθροισμα τῶν χοέων. Νὰ εὑρεθοῦν οἱ ὀκτάδραχμοι χοεῖς»².