Η υπόθεση Ρίμαν παραμένει αναπόδεικτη

 Το 1859, ο 33χρονος Μπέρναρντ Ρίμαν έκανε μια υπόθεση σχετικά με την «συνάρτηση Ζήτα» και η υπόθεση αυτή είναι πλέον ένα από τα Millenium Prize Problems που θέσπισε το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay και προσφέρει ένα εκατομμύριο δολάρια σε όποιον λύσει κάποιο από αυτά.   

Τώρα για όσους ενδιαφέρονται. Υπόθεση του Riemann: Υπάρχει συστηματικότητα στην κατανομή των πρώτων αριθμών;   παραμένει άλυτη 158 χρόνια (1859-2017)

Η ακολουθία των πρώτων αριθμών αρχίζει με τους 2,3, 5, 7 και 11. Όσο προχωράει κανείς στην ακολουθία, η συχνότητα τους μειώνεται, αλλά η κατανομή τους δεν παύει να παρουσιάζει μια συστηματοποίηση, που είναι γνωστή εδώ και αιώνες. Υπάρχουν, ωστόσο, μικρές παρεκκλίσεις, και το 1859 ο Bemhard Riemann υπέθεσε ότι θα μπορούσε να τις περιγράψει επακριβώς, αν κατάφερνε να αποδείξει την ύπαρξη μιας ξεχωριστής ιδιότητας για τις τιμές που μηδενίζουν μια συγκεκριμένη συνάρτηση. Πιο συγκεκριμένα, μια μιγαδική συνάρτηση που λέγεται ζήτα συνάρτηση του Riemann ζ(s), ορίζεται για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς που είναι διάφοροι του 1. Η συνάρτηση αυτή μηδενίζεται για όλους τους άρτιους αρνητικούς αριθμούς. Δηλαδή για s=-2, s=-4, s=-6 κλπ. Οι τιμές αυτές μηδενισμού είναι οι τετριμμένες της λύσεις. H υπόθεση του Riemann αφορά τις μη τετριμμένες λύσεις και ισχυρίζεται ότι το πραγματικό μέρος όλων των μη τετριμμένων λύσεων που μηδενίζουν την ζήτα-συνάρτηση είναι το 1/2.  Η υπόθεση έχει επαληθευτεί για τις πρώτες 1.500.000.001 λύσεις, αλλά εξακολουθεί να λείπει η τελική απόδειξη.

Πρόσφατα διαβάσαμε πως επιτέλους λύθηκε η υπόθεση Ρίμαν από τον Νιγηριανό Dr Opeyemi Enoch, ένα μαθηματικό πρόβλημα αναπόδεικτο για 156 χρόνια! Μεταξύ αυτών που αναπαρήγαγαν την είδηση ήταν και το BBC, το οποίο μάλιστα έσπευσε να πάρει συνέντευξη από τον Αφρικανό μαθηματικό. Τελικά, τα πράγματα φαίνεται πως δεν ήταν ακριβώς έτσι. Όμως, τι ακριβώς λέει αυτή η περίφημη υπόθεση;

[ Αν ανήκετε στην κατηγορία «πολύ διεστραμμένοι», παρακαλώ πηγαίνετε στην παράγραφο δύο. Οι ήπιες περιπτώσεις, παρακαλώ αρκεστείτε στη διατύπωση που ακολουθεί και μετά συνεχίστε στην παράγραφο τρία: «Όλες οι μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης ζ του Ρίμαν έχουν πραγματικό μέρος ίσο με ½». Οι υπόλοιποι δεν έφτασαν καν ως εδώ, ευτυχώς γι αυτούς! ]

Ίσως η πιο διάσημη σειρά Dirichlet είναι η συνάρτηση ζήτα: ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + … όπου s = σ + i t, η οποία αποδεικνύεται πως συγκλίνει απόλυτα όταν σ>1. Οι άρτιοι αρνητικοί ακέραιοι αποτελούν τετριμμένες λύσεις της εξίσωσης ζ(s) = 0. Ε λοιπόν, το 1859 ο Γκεόργκ Φρίντριχ Μπέρναρντ Ρίμαν έκανε την εικασία πως όλες οι μη τετριμμένες λύσεις της εξίσωσης αυτής βρίσκονται στην ευθεία σ = 1/2 (ή αλλιώς το πραγματικό μέρος αυτών είναι το 1/2). Το 1915 ο Γκ. Χ. Χάρντι απέδειξε ότι υπάρχουν άπειρες ρίζες πάνω στην «κρίσιμη ευθεία», και το 1921 οι Χάρντι και Τζ. Ε. Λίτλγουντ έδειξαν πως το πλήθος των ριζών τής ζ(s) πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα με άκρα 1/2 και 1/2 + i T είναι τουλάχιστον Α Τ για κάποια σταθερά Α όταν το Τ είναι αρκετά μεγάλο, ενώ το 1942 ο A. Σέλμπεργκ απέδειξε ότι το προηγούμενο πλήθος ριζών είναι τουλάχιστον Α Τ logT για Τ–> ∞ . Η υπόθεση αυτή του σπουδαίου Γερμανού μαθηματικού έχει ελεγχθεί για τις πρώτες 10.000.000.000 ρίζες, αλλά απόδειξη ή έστω ένα αντιπαράδειγμα που να την αναιρεί δεν είχε υπάρξει επί 156 χρόνια (βλ. Εισαγωγή στην αναλυτική θεωρία των αριθμών, Tom M. Apostol).

Θεωρείται ένα σημαντικό μαθηματικό πρόβλημα αυτό;

Η υπόθεση Ρίμαν ανήκε στη λίστα των 23 προβλημάτων που εκδόθηκαν από τον μεγάλο μαθηματικό Ντάβιντ Χίλμπερτ το 1900 και αναδημοσιεύθηκαν το 1902 στο Περιοδικό της Αμερικάνικης Μαθηματικής Εταιρείας. Λένε μάλιστα πως ο Χίλμπερτ έδινε ιδιαίτερη σημασία στην υπόθεση αυτή, τόσο που, όταν κάποτε τον ρώτησαν: «Αν ήταν να ξαναζωντανέψεις, σαν τον Φρειδερίκο Μπαρμπαρόσα, ύστερα από πεντακόσια χρόνια, τι θα έκανες;», εκείνος απάντησε: «Θα ρωτούσα αν έχει αποδειχθεί η Υπόθεση του Ρίμαν» (βλ. Η μουσική των πρώτων αριθμών, Marcus du Sautoy). Ολόκληρος ο 20ός αιώνας σημαδεύτηκε από την προσπάθεια σημαντικών μαθηματικών να την αποδείξουν, ενώ την υπόθεση Ρίμαν κατέταξε ανάμεσα στις τρεις πιο ενδιαφέρουσες ερευνητικές προκλήσεις για τον 21ο αιώνα ο Φίλιπ Α. Γκρίφιθς, διευθυντής του Ινστιτούτου Ανωτέρων Μελετών του Πρίνστον, στο τεύχος Ιανουαρίου του 2000 του American Mathematical Monthly. Παράλληλα, τόσο το Ινστιτούτο Κλέι —ιδρύθηκε το 1998 από τον χρηματιστή Λάντον Τ. Κλέι— όσο και το Αμερικανικό Ινστιτούτο Μαθηματικών —ιδρύθηκε το 1994 στην Καλιφόρνια από τον επιχειρηματία Τζον Φράι— την έχουν βάλει στο στόχαστρό τους: το Ινστιτούτο Κλέι θέσπισε βραβείο ενός εκατομμυρίου δολαρίων για την απόδειξη ή την κατάρριψή της, ενώ το Αμερικανικό Ινστιτούτο Μαθηματικών οργάνωσε τρία μεγάλα συνέδρια (1996, 1998, 2002), στα οποία συμμετείχαν ερευνητές από όλο τον κόσμο, με θέμα την υπόθεση του Ρίμαν (βλ. Υπόθεση Ρίμαν. Η εμμονή με τους Πρώτους Αριθμούς, John Derbyshire).

Απέδειξε όμως πράγματι ο Dr Enoch ένα τόσο σημαντικό μαθηματικό πρόβλημα το οποίο θα τον κάνει εκατομμυριούχο, εκτός από επιστημονική διασημότητα;

Στο ποστ με τίτλο «Η υπόθεση Ρίμαν παραμένει αναπόδεικτη», το MathsBank Blog εύστοχα επισημαίνει πως η φερόμενη ως απόδειξη δεν συγκέντρωσε τη διεθνή προσοχή που θα εγγυούνταν ένα έργο τέτοιας σημασίας, ενώ παρακάτω επικαλείται πως στην ιστοσελίδα του Ινστιτούτου Κλέι η διάσημη υπόθεση του Γερμανού μαθηματικού αναφέρεται ως «unsolved». Βέβαια, γεγονός είναι πως πριν η απόδειξη μιας εικασίας σαν και αυτή επιβεβαιωθεί, και γίνουν και οι σχεδόν αναπόφευκτες διορθώσεις, παίρνει αρκετό καιρό. Συμπέρασμα; Η απόδειξη της υπόθεσης Ρίμαν από τον Νιγηριανό καθηγητή μαθηματικών φαίνεται δυστυχώς πως ήταν απλά… μια υπόθεση, η οποία πάντως σίγουρα μπορεί να κάνει όλα τα νερντς του πλανήτη να βρεθούν στην κρίσιμη ιστοσελίδα πραγματικά με την ανάσα κομμένη — και με το δάχτυλο ανά ½ δευτερόλεπτο στο ριφρές.

  *

Υπάρχουν ενδείξεις ότι η λύση του προβλήματος μπορεί να είναι κοντά, και ότι οι πλέον υποσχόμενες προσεγγίσεις δεν προέρχονται απο τον μαθηματικό χώρο, αλλά απο την Φυσική!

Έχει εντοπιστεί μια βαθύτατη σύνδεση μεταξύ της υπόθεσης Riemann και του φυσικού κόσμου, μία σύνδεση που όχι μόνο θα μπορούσε να αποδείξει την υπόθεση, αλλά και να φωτίσει την δυσνόητη συμπεριφορά των ατόμων, των μορίων και γενικά των περίπλοκων συστημάτων του μικρόκοσμου.Οι πρώτοι αριθμοί είναι οι βασικοί δομικοί λίθοι των Μαθηματικών. Επιπλέον είναι ζωτική ησημασία τους στην κρυπτογραφία και στην αυξανόμενη σπουδαιότητα τουδιαδικτυακού εμπορίου και των συστημάτων ασφαλείας.

Φαίνονται απλοί με μία "πρώτη" ματιά. Είναι αριθμοί όπως οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23 κλπ, που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και το 1 (η μονάδα δεν συμπεριλαμβάνεται στους πρώτους). Ο Ευκλείδης πρώτος απέδειξε οτι οι πρώτοιδεν έχουν τέλος, δηλαδή ότι είναι άπειροι.

Οι πρώτοι είναι τα άτομα του αριθμητικού συστήματος, επειδή o κάθε ένας απο τους υπόλοιπους σύνθετους αριθμούς (που δεν είναι πρώτοι) συντίθεται με μοναδικό τρόπο, και συγκεκριμένα με τον πολλαπλασιασμό πρώτων αριθμών (πχ 3Χ 7 = 21). Δυστυχώς δεν υπάρχει περιοδικός πίνακας γιά τους πρώτους, που είναιαπρόβλεπτοι μέχρι τρέλας. Η εύρεση νέων πρώτων είναι κατά κανόνα ζήτημα δοκιμής και λάθους.

Τον 19ο αιώνα οι μαθηματικοί βρήκαν λίγη τάξη στο φαινομενικό αυτό χάος. Αν και ο κάθε πρώτος ξεπετιέται αναπάντεχα, η συνολική κατανομή τους ακολουθεί μία τάση, όπως πχ η ρίψη ενός νομίσματος, όπου το αποτέλεσμα είναι μεν απρόβλεπτο, αλλά μετά απο πολλές ρίψεις περιμένουμε να έχουμε περίπου μισές κορώνες και μισά γράμματα.

Οι πρώτοι αριθμοί γίνονται όλο και πιό σπάνιοι όσο ψάχνουμε για μεγαλύτερους (δείτε το διάγραμμα), και οι μαθηματικοί διαπίστωσαν ότι αυτή η αραίωσή τους είναι προβλέψιμη. Η συνάρτηση μέτρησης πρώτων π(x) μετρά το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι ή ίσοι από κάποιο δεδομένο αριθμό x. Tο1792 ο Gauss, σε ηλικία 15 ετών, βρήκε ότι η συνάρτηση μέτρησης πρώτων π(x) υπολογίζεται "περίπου" απο τον τύπο x/ln(x), όπου ln(x) είναι ο φυσικός λογάριθμος του x. Έτσι, για παράδειγμα, υπάρχουν περίπου 400.000.000 πρώτοι αριθμοί (ποσοστό ~ 4%) που είναι μικρότεροι απο τον αριθμό 10.000.000.000 !

Φιλιππίδης Χαράλαμπος παράθεση από negentropist

Υπόθεση του Ρίμαν

Το 1859, ο Μπέρνχαρτ Ράιμαν παρουσίασε την υπόθεση, που είναι η μόνη που απομένει αναπόδεικτη από τον κατάλογο του Χίλμπερτ. Η υπόθεση αφορά την αλληλουχία των πρώτων αριθμών μεταξύ των θετικών ακέραιων. Πρώτος είναι κάθε θετικός αριθμός, εκτός του 1, ο οποίος δεν διαρείται παρά μόνο από τον εαυτό του και το 1.

Οι πρώτοι δέκα πρώτοι αριθμοί είναι οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 και 29. Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι, αλλά η συχνότητά τους μειώνεται όσο επεκτείνεται η σειρά θετικών ακεραίων προς το άπειρο. Από τους οκτώ αρχικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς, οι μισοί είναι πρώτοι, αλλά από τους αρχικούς εκατό, μόλις το ένα τέταρτο είναι πρώτοι, ενώ από τους αρχικούς ένα εκατομμύριο θετικούς ακέραιους, μόλις ο ένας στους δέκα τρεις είναι πρώτος.

Αυτό δημιουργεί το ερώτημα εάν μπορούμε να εξαγάγουμε κάποιο αξιόλογο συμπέρασμα για τον ακριβή τρόπο, με τον οποίο το ποσοστό αυτό μειώνεται σταδιακά. Το αρχικό πρότυπο της ακολουθίας πρώτων αριθμών και όσα γνωρίζουμε για τα μετέπειτα πρότυπα δεν είναι, όμως, ενθαρρυντικά. Τα διαστήματα μεταξύ των αρχικών δέκα πρώτων, για παράδειγμα, είναι 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4 και 6, μία ακολουθία που δεν μοιάζει να έχει εμφανή περιοδικότητα.

Ασχετα από το πόσο μακριά φθάνουμε στην αλληλουχία θετικών ακεραίων, ανακαλύπτουμε ομάδες πολλών πρώτων, συγκεντρωμένες κοντά η μία στην άλλη, καθώς και διαστήματα, όσο μεγάλα θέλει κανείς, στα οποία δεν συναντούμε κανέναν πρώτο αριθμό.

Οι μαθηματικοί, όμως, πέτυχαν να κατανοήσουν -εν μέρει- τον τρόπο με τον οποίο το ποσοστό των πρώτων αριθμών μειώνεται. Αν και η κατανόηση αυτή προήλθε από άλλο κλάδο των Μαθηματικών, που μοιάζει εντελώς άσχετος με τη θεωρία των θετικών ακεραίων, καθώς ασχολείται με τη διαρκή διακύμανση ενός μεγέθους σε σχέση με ένα άλλο. Παρ’ όλα αυτά, η απόδειξη της Υπόθεσης του Ρίμαν, εάν και εφόσον επιτευχθεί, θα μπορούσε και αυτή να έχει σημαντικές πρακτικές εφαρμογές στη Φυσική και την τεχνολογία των επικοινωνιών.

Φιλιππίδης Χαράλαμπος παράθεση από Καθημερινή